一阶微分方程的通解公式(方程求解及应用举例)

查询 问答 2023-05-21 6 0

本文主要内容:介绍一阶非齐次线性微分方程的通解的应用、特解求解举例,以及二阶微分方程可用该通解求解的情形。

一、方程通解公式

一阶非齐次线性微分方程的解析式为:y'+p(x)=q(x),

则其通解表达式如下:y=e^[-∫p(x)]dx{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx+c}.

二、通解公式的实际应用

本例中,p(x)=2x,q(x)=4x.

本例中,p(x)=-1/x,q(x)=2x^2.

本例中,p(x)=1/x,q(x)=sinx/x.

本例中,先要将y'前面的系数x变形除后,得到:p(x)=1/x,q(x)=e^x/x.

本例中,p(x)=-a,q(x)=e^mx.

此例中,要反过来用一阶非齐次线性微分方程的通解公式,其中:p(y)=-3/y,q(y)=-y/2.

三、用公式求特解情况举例

本例中p(x)=1/x,q(x)=4/x,求满足y(x=1)=0时的特解。

本例中p(x)=(2-3x^2)/x^3,q(x)=1,求满足y(x=1)=0时的特解。

四、二阶微分方程可使用通式求解举例

y''+y'/x=4,此时先对y'按照通式公式来求解,再对y'积分求解得到y,通解中含有两个常数系数c1和c2,此时P=1/x,Q=4。

y''=y'+x,此时先对y'按照通式公式来求解,再对y'积分求解得到y,通解中含有两个常数系数c1和c2,此时P=-1,Q=x。

xy''+y'=lnx,此时先对y'按照通式公式来求解,再对y'积分求解得到y,通解中含有两个常数系数c1和c2,此时P=1/x,Q=lnx/x.